Ejercicio 9.7-3

Reconsidere el problema del flujo de costo mínimo formulado en el problema 9.6-2.

Una empresa fabricará el mismo producto nuevo en dos plantas y después lo mandará a dos almacenes. La fabrica 1 puede enviar una cantidad ilimitada por ferrocarril solo al almacén 1 mientras que la fábrica 2 puede mandar una cantidad ilimitada por ferrocarril solo al almacén 2. Sin embargo, se pueden usar camiones de carga independientes para enviar hasta 50 unidades a cada almacén. En la siguiente tabla se muestra el costo unitario de embarque para cada alternativa junto con las cantidades que se producirán en las fábricas y las cantidades que se necesitan en los almacenes.

A   De	Costo unitario de embarque			Producción
	Centro de distribución	Almacén
		1	2
Fábrica 1	3	7	-	80
Fábrica 2	4	-	9	70
Centro de distribución		2	4
Asignación		60	90

a)      Obtenga una solución BF inicial resolviendo el árbol de expansión factible que corresponde a usar sólo las dos vías y la fábrica 1 que manda unidades al almacén 2 a través del centro de distribución.

b)      Use el método simplex de redes (sin usar la rutina de la computadora) para resolver este problema.

Solución literal a)

Planteamiento

A = Fabrica 1

B = Fabrica 2

C = Centro de distribución

D = Almacén 1

E = Almacén 2

Maximizar

Z = 7x_AD + 3x_AC + 4x_CE + 9x_BE  + 4x_BC + 2x_CD    

Sujeto a

1.   X_AD + X_AC   = 80

2.   X_BE = 70

3.   –X_AC + X_CE = 0

4.  –X_AD = -60

5.  –X_CE – X_BE  =  -90

0 ≤ X_AC , X_BC , X_CD , X_CE  ≤ 50

Solución:

De ecuación 4 tenemos

X_AD = 60

Reemplazando en la ecuación 1

X_AD  +  X_AC  = 80

60  +  X_AC  = 80

X_AC  =  20

Reemplazando en la ecuación 3

-X_AC   +  X_CE  =  0

-20  +  X_CE  =  0

X_CE  =  20

Y de ecuación 2 tenemos que:

X_BE  =  70

Con estos datos podemos obtener una solución BF inicial resolviendo el árbol de expansión factible que corresponde a usar sólo las dos vías y la fábrica 1 que manda unidades al almacén 2 a través del centro de distribución.

Solución literal b)

Planteamiento:

Maximizar:

Z = 7X_AD  +  3X_AC  +  4X_CE  +  9X_BE  +  4X_BC  +  2X_CD

 

1.  X_CD  +  X_AC  =  80

2.  X_BC  +  X_BE  =  70

3  -X_AC  -  X_BC  -  X_CD  -  X_CE  = 0

4.  –X_AD  -  X_CD  =  - 60

5-  -X_CE  - X_BE  = - 90

0≤ X_AC , X_BC , X_CD, X_CE  ≤ 50

Solución:

Arcos básico  = Nodos – 1 = n-1 = 5-1 =  4

Podemos tomar los 4 arcos:

A→D,  B→C,  C→D,  B→E.

Esto para formar un árbol de expansión factible: 

Los arcos  A→C  y  C→E  No son arcos básicos y ambos alcanzan su cuota superior, entonces:

X_AC  = 50

X_AC  = 50  -  Y_AC

X_CE  = 50

X_CE  = 50  -  Y_CE

Reemplazando en ecuación 1

X_AD  +  X_AC  =  80

X_AD  +  50  -  Y_AC  = 80

X_AD  -  Y_AC  =  30    Donde   Y_AC  = 0

X_AD  =  30

Reemplazando en ecuación 4

-X_AD  -  X_CD  = -60

        -30  -  X_CD = - 60

        -X_CD =  - 30

        X_CD  =  30

Reemplazando en ecuación 5

-X_CE  -  X_BE  = - 90

-(50 -  Y_CE) – X_BE  = -90

-50  +  Y_CE  -  X_BE  = - 90

Y_CE  -  X_BE  = - 40

Donde  Y_CE  = 0

-X_BE  =  - 40

X_BE  =  40

Reemplazando en ecuación 2

X_BC  +  X_BE  =  70

X_BC  +  40  =  70

X_BC  =  30

Reemplazando en ecuación 3.

-X_AC  -  X_BC  +  X_CD  +  X_CE  =  0

-(50 – Y_AC) -  30  +  30  + (50 – Y_CE) =  0

-50 + Y_AC  +  50  -  Y_CE  =  0

+50  +  0  +  50  -  0  =  0

0  =  0   Entonces es redundante

Lo anterior nos permite obtener la siguiente solución BF

Prueba de optimaliad

ARCO  NO  BASICO	CICLO  CERRADO	∆Z   CON  Ѳ =  0
C→A	AC – CD – AC	∆Z  = -3  +  7  -  2 =  2
E→C	CE – BC - BE	∆Z  =  -4  -  4  +  9  =  1

Como los ∆Z  son positivos, la solución es óptima. Ahora solo debemos comparar el último gráfico con el del planteamiento, para reorientar los arcos C→A  y  E→C  , calcular las nuevas asignaciones, así:

Arco  C→A

X_AC  =  50  -  Y_AC

X_AC  =  50  -  0

X_AC  =  50

ARCO   E→C

X_CE  =  50  -  Y_CE

X_CE  =  50  -  0

X_CE  =  50

Para la solución final tenemos

Para hallar z reemplazamos los valores optenidos:

Z  =  7X_AD  +  3X_AC  +  4X_CE  +  9X_BE  +  4X_BC  +  2X_CD

Z  =  7(30)  +  3(50)  +  4(50)  +  9(40)  +  4(30)  +  2(30)

Z  =  1100